Родился Алексей Александрович в Москве 19 апреля 1948 года в семье радиофизиков Александра Старобинского и Наталии Керженцевой.
Окончив в 1966 году одиннадцатилетнюю физико-математическую школу № 5, поступил на физический факультет МГУ. Областью научных интересов ученого была классическая и квантовая теория гравитации, космология, релятивистская астрофизика.
Совместно с Яковом Борисовичем Зельдовичем, который был в свое время его учителем, доказал, что вращающиеся чёрные дыры должны порождать и излучать частицы. В 1979 году Старобинский предложил теорию ускоренного расширения Вселенной на ранней стадии, которая до сих пор считается наиболее реалистичной. Он также заявил, что на этапе расширения возникают гравитационные волны.