Если спросить любого человека на улице: что он знает о числе пи, наиболее частым будет ответ о том, что это десятичная дробь 3,14. Немногие расширят ответ, вспомнив программу 7-го класса: «Это отношение длины окружности к ее диаметру» или «Это десятичная дробь — 3,14... у которой бесконечное множество знаков после запятой».
Уточним — к июню 2022 года неугомонные математики вычислили первые 100 триллионов (!) знаков после запятой..., и это, как они считают, не предел.
Подобных иррациональных чисел, чье десятичное представление может длиться бесконечно, очень много, больше, чем рациональных.
— Юрий Валентинович, почему же именно числу пи досталось столько внимания?
— Число пи связано с окружностью — одной из простейших геометрических фигур, которая часто встречается в нашей жизни, и потому оно появляется в любой области, где встречаются периодические процессы. А это астрономия, где, например, нужно рассчитывать орбиты небесных тел, искусственных спутников, траектории движения ракет, архитектура и электротехника, физика, электроника, химия, навигация, математика и другие области.
— Почему для обозначения этого числа используется греческая буква «пи»?
- С нее начинается греческое слово, которое в переводе на русский обозначает «периферия, окружность». Вот букву и выбрали для выражения отношения длины окружности к длине ее диаметра.
Великий ученый Леонард Эйлер использовал это обозначение во многих своих трудах. Оно оказалось удобным, привилось в математике, а оттуда перешло в нашу жизнь. Для любой окружности, большой или маленькой, это отношение одно и то же. Его примерное значение равно 3,1415926… Поставленное здесь многоточие означает, что за цифрой 6 можно написать еще ряд цифр. Вместе с написанными они дадут более точное приближенное значение числа. Этот ряд цифр можно продолжить сколь угодно далеко.
— Слышала, что в 2022 году были вычислены первые 100 триллионов знаков числа пи после запятой...
— Это так. Чтобы прочесть все их вслух по одному в секунду, потребуется более 3,1 миллиона лет. А стотриллионный десятичный знак числа пи — ноль. Мы сможем приблизиться к пи сколь угодно близко, но нам никогда не удастся получить таким способом его точное значение. Как говорят, десятичная запись числа пи бесконечна. Можно сказать и по-другому: длину окружности единичного диаметра можно измерить лишь приближенно.
Справка «МК». Числа, равные отношению двух целых чисел, называют рациональными, а все остальные числа — иррациональными. Рациональным числам соответствуют конечные десятичные дроби или бесконечные, но периодические дроби. При этом иррациональных чисел намного больше, чем рациональных. Их даже невозможно пересчитать.
— Расскажите об исторических корнях числа пи.
— Я расскажу о старинной задаче, которая ждала своего решения более двух тысяч лет. Речь пойдет об измерении площади круга.
Для древних греков слова «измерить площадь фигуры» означали: построить с помощью циркуля и линейки без делений квадрат, имеющий такую же площадь, как и эта фигура. Они научились это делать для треугольников и прямоугольников, вообще для любых многоугольников, для некоторых криволинейных фигур. Но вот для круга это никак не удавалось. Задача получила собственное имя — «квадратура круга», и в попытках найти ее были обнаружены хорошие приближения пи к рациональным числам.
Например, древние греки считали, что длина окружности равняется 22/7 диаметра, и это, как мы сейчас знаем, приближенное равенство вполне обеспечивало их нужды, скажем, в строительном деле. Если представить число 22/7 десятичной дробью, то мы увидим бесконечный ряд, он тоже периодичен: 22/7 = 3,142857142857…, сочетание «142857» повторяется в нем бесконечное число раз. Заметим, что первые две цифры после запятой у дроби 22/7 и у числа пи совпадают. Это означает, что дробь 22/7 хорошо приближает отношение длины окружности к ее диаметру.
А в Вавилоне было известно еще более точное приближение: 355/113 = 3,141592… намного более точное, чем 22/7.
В общем, задача найти квадратуру круга была очень привлекательной, она имела простую и понятную формулировку, почтенный возраст и, несмотря на значительные усилия, была недоступна многим профессионалам и любителям. Лишь в 1882 году немецкому математику Фердинанду Линдеману удалось доказать, что построения, реализующего квадратуру круга, не существует, квадратура круга невозможна.
— Можете привести еще пример неизмеримых геометрических объектов?
— Их очень много. Например, диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. Этот факт был обнаружен еще древнегреческими учеными. Длину диагонали можно измерить только приблизительно.
Давайте возьмем метровую линейку с нанесенными на ней рисками на расстоянии в один миллиметр и попробуем с ее помощью измерить длину диагонали квадрата со стороной в 1 метр. Если мы отложим на диагонали метр, а потом попробуем измерить оставшуюся ее часть с помощью линейки, то конец диагонали попадет между рисочками. Можно разделить линейку на более мелкие части, и опять ни одна из рисок нового деления не совпадет с концом диагонали. Конец диагонали всегда будет попадать между двумя соседними рисками, сколь мелкое деление вы ни сделаете. Отношение длин стороны квадрата и его диагонали — число иррациональное.
— А кто первый доказал иррациональность пи и как он это сделал?
— Иррациональность этого числа впервые доказал еще в 1761 году Иоганн Ламберт. Он использовал для этого так называемые цепные дроби, экспоненциальную и тригонометрические функции.
— Если древних греков устраивало приближенное значение пи, современные школьники, студенты тоже обходятся им, то зачем ученые продолжают высчитывать сотни триллионов знаков после запятой?
— На этот вопрос ответила руководитель группы, сосчитавшей столько знаков: подобные вычисления демонстрируют мощность имеющейся вычислительной техники. Вычисление многих знаков — это своего рода спортивное соревнование групп ученых, создающих вычислительную технику, придумывающих более совершенные алгоритмы и компьютерные программы. Конечно, это требует больших затрат, но, думаю, не больших, чем реклама лекарств, например.
— Есть ли еще числа, которые настолько сильно привлекают математиков?
— Я не знаю, есть ли праздник числа е... Но это еще одна константа, которая не менее известна среди инженеров и ученых, чем пи. Она тоже иррациональна. Никто до сих пор не ответил на вопрос: получим ли мы рациональное число, сложив е с пи? Это старая проблема, которую никто не может решить.
— Как выглядит число е?
- Примерно можно записать его как десятичную дробь 2,7128... Она тоже просчитана до триллионов знаков после запятой. У нее не геометрическое, а аналитическое происхождение.
- Вы лауреат премий: Харди-Рамануджана (1997), Гумбольдта (2003), Маркова (2006). За решение какой теоретической задачи вам вручили несколько международных премий подряд?
— Она связана с числами пи и е. Как я уже говорил, это две математические постоянные, но есть ли между ними алгебраическая связь — вопрос нерешенный и очень трудный. Я рассматривал числа пи и е в степени пи. Казалось бы, число е в степени пи устроено сложнее, чем просто число е, но тем не менее мне удалось доказать, что эти числа алгебраически независимы.
— Они могут использоваться в криптографии?
— Иногда для компьютерных вычислений возникает необходимость в построении последовательностей случайных чисел. Это нужно для многих задач, в том числе и в криптографии. Существует предположение, что цифры десятичной дроби числа пи расположены случайным образом. Периода у этой последовательности цифр нет, но не исключено, что есть другие, неизвестные нам пока соотношения. Это гипотеза, которая не доказана и не опровергнута.
— Существуют ли еще какие-нибудь трудные, нерешенные математические задачи, связанные с числом пи?
— Конечно, существуют. Например, неизвестно, встречается ли каждая цифра от 0 до 9 в десятичной дроби пи бесконечное число раз. А если встречается, то какая цифра встречается чаще? Может быть, в среднем все цифры появляются одинаково часто? Компьютерные вычисления подтверждают последнюю гипотезу, но она все еще не доказана.
— Считается, что в числе пи каждый может найти свой номер телефона, банковский счет и так далее. Это так?
— Это еще одна из известных открытых проблем. Вопрос, в общем, ставится так: можно ли найти любую заданную конечную последовательность цифр в десятичной дроби числа пи? Ответ: это до сих пор неизвестно — дробь-то бесконечная. К примеру, банковский счет из 20 известных цифр вы, может, найдете, а может, и нет. Если не найдете, подождите, когда вычислят следующие 100 триллионов, может, там окажется ваш банковский счет. (Улыбается.)
— Вы лично что-то искали?
— Нет, это пустая трата времени. Для чего это нужно?
— Так, из спортивного интереса.
— Ну разве что устроить спортивные соревнования, кто быстрее найдет свой номер телефона или счета, и потом выдать за это приз. Но, по-моему, доказать гипотезу — более интересная цель. Правда, она почти бесперспективна.
— Вы отмечаете праздник этого числа?
- Нет, ему, собственно, не так уж много лет, чтобы это вошло в традицию. Кроме того, этот праздник был рожден в США и связан с их системой записи дат. В России, как, впрочем, и во многих других странах, скажем, в Англии, даты записываются в порядке день-месяц-год. А в США порядок другой — месяц-день-год. Поэтому 14 марта в США запишут в виде 3.14, а в России — 14.3. Американская запись соответствует первым трем десятичным цифрам числа пи, а российская — 14.3 — к этому числу отношения не имеет. Получается, нам 14 марта праздновать нечего.
— Может, есть другие «математические» даты, которые, по-вашему, стоит праздновать?
— В 1973 году у себя на кафедре теории чисел МГУ мы отмечали другое событие — столетие доказательства французским математиком Шарлем Эрмитом трансцендентности числа е. Трансцендентность означает, что это число не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
С этого события, по существу, началось развитие большого направления теории чисел, и российские математики приняли активное участие в этом процессе.
Линдеман, пытаясь доказать невозможность квадратуры круга, доказал утверждение намного более общее — трансцендентность числа пи.